Exercice 3

Un club d'escalade propose à ses \(100\) adhérents deux séances par semaine : lundi, jeudi. À chacune des séances, chaque adhérent est libre de venir ou pas.
Le tableau ci-dessous récapitule les choix des adhérents une semaine donnée. 

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & \text{Présent le jeudi} & \text{Absent le jeudi} & \text{Total} \\\hline \text{Présent le lundi} & \bf{45} &x & 75 \\\hline \text{Absent le lundi} & 20 & 5 & 25 \\\hline\text{Total}& 65& 35 & 100 \\\hline \end{array}\)

Exemple : le tableau montre que 5 adhérents sont venus lundi et jeudi. 

1. Décrire par une phrase ce que représente le nombre \(x\) et déterminer sa valeur.

2. On choisit un adhérent au hasard.
    a. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un adhérent qui n'est venu ni le lundi ni le jeudi ? 
    b. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un adhérent qui n'est venu qu'un seul jour ?
    c. On sait à présent que l'adhérent choisi est venu le lundi. Quelle est la probabilité qu'il soit également venu le jeudi ?

3. Chacun des adhérents verse au club une cotisation annuelle de \(100\) euros. 
    a. En 2026, le club compte \(100\) adhérents. Quel est le montant total des cotisations versées au club en 2026 ?
    b. On suppose que, de 2026 (inclus) à 2041 (inclus), le montant de la cotisation reste stable, mais que le nombre d'adhérents augmente régulièrement de \(5\) unités chaque année. Ainsi, en 2026, il y a \(100\) adhérents, en 2027, il y a \(105\) adhérents, en 2028, il y a \(110\) adhérents, en 2029, il y a \(11\)5 adhérents, etc. Quel sera le montant total des cotisations versées au club entre 2026 et 2041 ?
Indication : on pourra utiliser la formule ci-dessous :
\(a+(a+r)+(a+2r)+(a+3r)+~...~+(a+nr)=\dfrac{2anr}{2}\times (n+1)\)